Metode Numerik

Penyusunan persamaan empiric

1.data tersaji (missal X dan Y )
2. plot grafik
3. menentukan persamaan grafik yang yang terbentuk
4. linearisasi persamaan

ln xn = n ln x
ln ( ab ) = ln a + ln b
ln digunakan untuk menghilangkan pangkat
contoh
y = axn
substitusi
ln y = ln axn
ln y = ln a + ln xn
ln y = ln a + n ln x

eliminasi gauss

jika mempunyai persamaan
a11x1 + a12x2 + a13x3 + …+ a1nxn = y
a21x1 + a22x2 + a23x3 + …+ a2nxn = y2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + …+ a3nxn = y3
dan serusnya sampai
an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn = yn
ingin menghitung harga x1, x2, x3 … xn yang memenuhi persamaan diatas
• Mengubah dalam bentuk matrik

a11 a12 a13 …a1n x1 y
a21 a22 a23 …a2n x2 y2
a31 a32 a33 … a3n x3 y3
.
.
an1 an2 an3 … ann xn yn
• Eliminasi kolom 1
# Baris ke 2
Baris 2 – a21 ( baris 1 )
a11
# baris ke 3

Baris 3 – a31 ( baris 1)
a11
# Baris ke n
Baris n – an1 ( baris 1 )
a11


Sehingga didapat matrik baru
a11 a12 a13 … a1n x1 y1
0 a22 a23 … a2n x2 y2
0 a32 a33 … a3n x3 y3
.
.
0 an2 an3 … ann xn yn
• Eliminasi kolom ke 2
# Baris ke 3
Baris 3 – a32 ( baris 2 )
a22
# Baris ke 4
Baris 4 – a42 ( baris 2 )
a22
# Baris ke n
Baris n – an2 ( baris 2 )
a22
dst sampai kolom n-1 baris ke n, kemudian dilakukan backward substitusi pada matriks baru yang terakhir didapat.

Integrasi Numeris

• Metode trapisiodal rule
X0 yaitu luas daerah di daerah kurva f ( x ) dan diatas sumbu x yang dibatasi oleh x0 dan xn
Maka untuk menyederhanakannya didekati dengan luas trapezium
L = ½ t ( y2 + y1 )
Jika dibagi menjadi n bagian yang sama besar maka :
∫f(x) dx = ½ ∆x ( y0 + 2y1 + 2y2 + … + 2yn-1 + yn )
• Metode simpson rule
Digunakan untuk jumlah interval genap.
∫(fx) dx = 1/3 ∆x ( y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + … + 2yn-4 + 4yn-3 + 2yn-2 + 4yn-1 + yn )

Penyelesaian persamaan linear satu variable

• Bisection
Langkahnya adalah :
1. Tentukan interval xA , xB dimana f ( xA ) . ( xB ) < 0
2. Xp = ½ ( xA + xB )
3. Hitung f ( xp )
4. Jika f ( xp ) . f ( xA ) < 0 maka xB digantikan xp , f ( xp ) . f ( xB ) > 0 maka xA diganti xp.
• Metode regulation
C0 = a0 f ( b0 ) – b0 ( f a0 )
f ( b0 ) – f ( a0 )
1. Jika f ( C0 ) = 0 maka x . C0 adalah akar yang kita cari.
2. Jika f ( a0 ) . f ( C0 ) < ∂ maka a1 = a0 dan b1 = C0
3. Jika f ( a1 ) . f ( C0 ) > ∂ maka b1 = b2 dan a1 = C0
4. Hitung C1 baru
C1 = a1f ( b1 ) – b1 f( a1 )
f ( b1 ) – f ( a1 )

• Metode Newton Robson
tg α = f’ ( x )
tg α = f ( x0 )
x0 – x1
xn+1 = xn – f (xn )
f ( xn+1 )

Langrange Interpolis Formula

Fungsi f ( x ) diekspansikan dalam bentuk polinominal
Y = f ( x’ ) = a1 ( x – x2 ) ( x – x3 ) ( x – x4 ) … ( x- xn ) + a2 ( x – x1 ) ( x – x3 ) ( x – x4 ) … ( x- xn ) + a3 ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x4 ) … ( x- xn ) + an ( x – x1) ( x – x2 ) ( x – x3) … ( x- xn - 1)
Mencari koefisien x = x1 → y = y1 dst
Y1 = a1 ( x1 – x2 ) ( x1 – x3 ) ( x1 – x4 ) … ( x1- xn ) + a2 ( x1 – x1 ) ( x1 – x3 ) ( x1 – x4 ) … ( x1- xn ) + a3 ( x1 – x1 ) ( x1 – x2 ) ( x1 – x4 ) … ( x1- xn ) + an ( x1 – x1) ( x1 – x2 ) ( x1 – x3) … ( x1- xn - 1)
Karena x1 – x1 = 0, maka
Y1 = a1 ( x1 – x2 ) ( x1 – x3 ) ( x1 – x4 ) … ( x1- xn )
a1 = y1 / ( x1 – x2 ) ( x1 – x3 ) ( x1 – x4 ) … ( x1- xn )
untuk menghitung a2 → x = x2→ y = y2
Dengan cara yang sama diperoleh a2 , a3 , …an
Y = y1 ( x – x2 ) ( x – x3 ) ( x – x4 ) … ( x- xn ) +
( x1 – x2 ) ( x1 – x3 ) ( x1 – x4 ) … ( x1- xn )
y2 ( x – x1 ) ( x – x3 ) ( x – x4 ) … ( x- xn ) +
( x2 – x1 ) ( x2 – x3 ) ( x2 – x4 ) … ( x2- xn )
y3 ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x4 ) … ( x - xn ) +
( x3– x1 ) ( x3 – x2 ) ( x3 – x4 ) … ( x3- xn )
y4 ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x4 ) … ( x – xn-1 ) +
( xn– x1 ) ( xn – x2 ) ( xn – x4 ) … ( xn- xn-1 )

Penyelesain PD ordiner tingkat 1 secara numeris
Bentuk umum f ( x, y, dy/dx ) = 0
Secara eksplisit dy/dx = f ( x, y )
Kondisi batas x = x0, y = y0
Pada penyelesaian secara numeris, f ( x, y ) diwakili oleh bilangan konstan
f ( x, y ) rata – rata.
y – y0 = ∫ f ( x, y )dx
y – y0 = f ( x, y ) ∆x
y = y0 + f ( x, y ) ( x – x0 )

Ada 3 metode yaitu :
1. Metode euler
2. Metode modified euler
3. Metode range kutta